sexta-feira, 31 de maio de 2013

Porque Pi vale 3,14??

Como descobriram que π (pi) é um valor irracional não periódico que vale aproximadamente 3,14? O estudo do cálculo do valor de pi foi realizado por Arquimedes (matemático e físico) através do método de exaustão. 

Pi é uma constante que foi descoberta em razão da necessidade de calcular o comprimento de uma circunferência. Veja como Arquimedes provou o seu valor numérico: 


Primeiro foi provado que todas as circunferências pertencem a um mesmo centro, portanto a razão entre o comprimento (C) de uma circunferência e o seu diâmetro (2r) será sempre igual a uma constante. 


C = constante 

2r 

Para chegar nessa constante, Arquimedes utilizou do método de exaustão que consiste em calcular o comprimento da circunferência por aproximação, construindo polígonos inscritos e circunscritos à circunferência. 


Vamos considerar C como sendo o comprimento da circunferência, 2p o perímetro do polígono inscrito (l seu lado), 2P o perímetro do polígono circunscrito (L seu lado) e r o raio da circunferência igual a 1/2. 




Se aumentarmos o número de lados dos polígonos acima, o comprimento da circunferência tende a coincidir com o perímetro do polígono. 


Assim, podemos concluir que a razão do comprimento da circunferência pelo diâmetro está entre as razões: do 2P pelo diâmetro da circunferência e 2p pelo diâmetro da circunferência, ou seja,


2p < C < 2P. 

2r     2r    2r 

Arquimedes duplicou os valores dos lados do polígono até chegar a um polígono de 96 lados. Provando que 2P / 2r = 220 / 70 = 3,14286 e 2p / 2r = 223 / 71 = 3,14085, assim: 


3,14085< C < 3,14286 

2r 

Assim a constante que representa a razão do comprimento da circunferência pelo seu diâmetro é igual a 3,14153265 .... Para facilitar os cálculos foi estipulado que essa constante seria representada pela letra grega π (pi). Portanto, a fórmula do comprimento (C) da circunferência irá ficar: 


C = π 

2r 

C = 2 π r 

Por isso que em vários problemas matemáticos que envolvem comprimento de circunferência ou área do círculo pode-se deixar os resultados em função de π ou substituí-los por 3,14.

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