Por que todo número elevado a zero é um?

Por que todo número elevado a zero é igual um? A potenciação tem algumas propriedades que são as pistas para o entendimento dessa regra.

Para começar, sabemos que a potenciação é um caso específico da multiplicação, no qual todos os fatores são iguais. Por exemplo:

2 X 2 X 2 X 2 X 2

3 X 3 X 3 X 3 X 3

Nessa condição, escrevemos o valor do fator e na sua parte superior, à direita, um outro número que indica justamente quantas vezes o estamos multiplicando.

Esse número que é colocado na parte superior do fator é conhecido como expoente. Essa forma facilita bastante a escrita. Veja:

2 X 2 X 2 X 2 = 2⁴

3 X 3 X 3 X 3 X 3 = 3⁵

As propriedades surgem espontaneamente a partir das operações da multiplicação e da divisão com potências.

Para calcular (2⁵) X (2⁴), basta manter a base e somar os expoentes.

Pode-se verificar isso pela própria definição da potenciação:

Em (2 X 2 X 2 X 2 X 2) X (2 X 2 X 2 X 2) multiplica-se o fator 2 nove vezes (2⁹) e 4 + 5 = 9. Resumindo: (2<sup>) X (2) = 2 5 + 4 = 29.

Na situação inversa - de dividirmos em vez de multiplicarmos - temos ():() que no caso é igual a  que por sua vez é , isso equivale a subtrair os expoentes.

Dessa forma, no caso da divisão, se tivermos bases iguais, manteremos a base subtraindo o expoente do dividendo ou numerador pelo expoente do divisor ou denominador.

Para o nosso exemplo teremos ():() = 

É a partir dessa última propriedade que se produz a conseqüência de que todo número elevado a zero é igual a 1.

Em divisão com potências, em que as bases são iguais, teremos a divisão de dois números iguais e um número dividido por ele mesmo resulta sempre na unidade.

Um exemplo: se tivermos  observamos que o dividendo é igual ao divisor e portanto a operação terá 1 como resultado.

Pela propriedade  e assim concluímos que 

Poderemos experimentar bases com todos os tipos de números - com a cautela de excluirmos o zero. Pelo fato de a regra ter se originado da divisão, e não esquecendo que um número nunca pode ser dividido por zero, a regra ficará mais precisa com o enunciado que todo o número diferente de zero elevado a zero terá como resultado o valor um.</sup>