Raízes quadradas exatas

Raiz não exata, como achar?

Para acharmos uma raiz não exata basta que Seja X o número do qual queremos saber a raiz quadrada x:

x = raiz (X)

Chute um valor qualquer para a raiz de X. Qualquer valor serve, mas quanto mais perto da raiz melhor.

Por exemplo, eu chutei um número x0.

Agora calcule o número x1 usando a fórmula aqui embaixo:

x1 = (x0 + X/x0)/2

Pegue esse número x1 e calcule o número x2 usando a fórmula:

x2 = (x1 + X/x1)/2.

E então calcule x3, x4, x5, ... até xn. xn é uma aproximação para a raiz quadrada x que estávamos procurando. Quanto maior n melhor é a aproximação.

Vamos aplicar o método.

Eu escolhi X = 2. Eu chutei que x0 = 1 deve ser perto da raiz quadrada de X.

Então, usando as fórmulas ai em cima:

x1 = (1 + 2/1)/2 = 1,5

x2 = (1,5 + 2/1,5)/2 = 1,4166666666667

x3 = 1.41421568627

O valor que minha calculadora dá para a raiz quadrada de X é

x = 1.414213562373

Como a gente pode ver, o método funciona bem.

Janela da Multiplicação

Outro método "algoritmo" para multiplicação chama-se Janela da Multiplicação. Ela funciona da seguinte forma.

Façamos a multiplicação de 35 por 27. A imagem abaixo exemplifica como podemos organizar os números num quadro apropriadamente e realizar as multiplicações.



Assim, o número 35 foi disposto no quadro na parte superior. O número 27 foi colocado de baixo para cima. Cada algarismo de uma linha multiplicou um algarismo de uma coluna e o resultado foi colocado dentro do quadro. Por exemplo 7x3=21. Após efetuar todas as multiplicações é só somar os algarismos das diagonais começando da direita para esquerda e de cima para baixo. Lembre-se do "vai 1" se a soma foi maior ou igual a uma dezena. Neste caso o algarismo das dezenas irá para a diagonal seguinte e será somado com os outros algarismos.

Porque Pi vale 3,14??

Como descobriram que π (pi) é um valor irracional não periódico que vale aproximadamente 3,14? O estudo do cálculo do valor de pi foi realizado por Arquimedes (matemático e físico) através do método de exaustão. 

Pi é uma constante que foi descoberta em razão da necessidade de calcular o comprimento de uma circunferência. Veja como Arquimedes provou o seu valor numérico: 

Primeiro foi provado que todas as circunferências pertencem a um mesmo centro, portanto a razão entre o comprimento (C) de uma circunferência e o seu diâmetro (2r) será sempre igual a uma constante. 

C = constante 
2r 

Para chegar nessa constante, Arquimedes utilizou do método de exaustão que consiste em calcular o comprimento da circunferência por aproximação, construindo polígonos inscritos e circunscritos à circunferência. 

Vamos considerar C como sendo o comprimento da circunferência, 2p o perímetro do polígono inscrito (l seu lado), 2P o perímetro do polígono circunscrito (L seu lado) e r o raio da circunferência igual a 1/2. 



Se aumentarmos o número de lados dos polígonos acima, o comprimento da circunferência tende a coincidir com o perímetro do polígono. 

Assim, podemos concluir que a razão do comprimento da circunferência pelo diâmetro está entre as razões: do 2P pelo diâmetro da circunferência e 2p pelo diâmetro da circunferência, ou seja,

2p < C < 2P. 
2r     2r    2r 

Arquimedes duplicou os valores dos lados do polígono até chegar a um polígono de 96 lados. Provando que 2P / 2r = 220 / 70 = 3,14286 e 2p / 2r = 223 / 71 = 3,14085, assim: 

3,14085< C < 3,14286 
2r 

Assim a constante que representa a razão do comprimento da circunferência pelo seu diâmetro é igual a 3,14153265 .... Para facilitar os cálculos foi estipulado que essa constante seria representada pela letra grega π (pi). Portanto, a fórmula do comprimento (C) da circunferência irá ficar: 

C = π 
2r 

C = 2 π r 
Por isso que em vários problemas matemáticos que envolvem comprimento de circunferência ou área do círculo pode-se deixar os resultados em função de π ou substituí-los por 3,14.

Por que todo número elevado a zero é um?

Por que todo número elevado a zero é igual um? A potenciação tem algumas propriedades que são as pistas para o entendimento dessa regra.

Para começar, sabemos que a potenciação é um caso específico da multiplicação, no qual todos os fatores são iguais. Por exemplo:

2 X 2 X 2 X 2 X 2

3 X 3 X 3 X 3 X 3

Nessa condição, escrevemos o valor do fator e na sua parte superior, à direita, um outro número que indica justamente quantas vezes o estamos multiplicando.

Esse número que é colocado na parte superior do fator é conhecido como expoente. Essa forma facilita bastante a escrita. Veja:

2 X 2 X 2 X 2 = 2⁴

3 X 3 X 3 X 3 X 3 = 3⁵

As propriedades surgem espontaneamente a partir das operações da multiplicação e da divisão com potências.

Para calcular (2⁵) X (2⁴), basta manter a base e somar os expoentes.

Pode-se verificar isso pela própria definição da potenciação:

Em (2 X 2 X 2 X 2 X 2) X (2 X 2 X 2 X 2) multiplica-se o fator 2 nove vezes (2⁹) e 4 + 5 = 9. Resumindo: (2<sup>) X (2) = 2 5 + 4 = 29.

Na situação inversa - de dividirmos em vez de multiplicarmos - temos ():() que no caso é igual a  que por sua vez é , isso equivale a subtrair os expoentes.

Dessa forma, no caso da divisão, se tivermos bases iguais, manteremos a base subtraindo o expoente do dividendo ou numerador pelo expoente do divisor ou denominador.

Para o nosso exemplo teremos ():() = 

É a partir dessa última propriedade que se produz a conseqüência de que todo número elevado a zero é igual a 1.

Em divisão com potências, em que as bases são iguais, teremos a divisão de dois números iguais e um número dividido por ele mesmo resulta sempre na unidade.

Um exemplo: se tivermos  observamos que o dividendo é igual ao divisor e portanto a operação terá 1 como resultado.

Pela propriedade  e assim concluímos que 

Poderemos experimentar bases com todos os tipos de números - com a cautela de excluirmos o zero. Pelo fato de a regra ter se originado da divisão, e não esquecendo que um número nunca pode ser dividido por zero, a regra ficará mais precisa com o enunciado que todo o número diferente de zero elevado a zero terá como resultado o valor um.</sup>

Tabela Trigonométrica    (Ângulos em graus)
Ângulo	seno	co-seno	tangente	................	Ângulo	seno	co-seno	tangente
0	0	1	0		185	-0,09	-0,99	0,09
5	0,09	0,99	0,09		190	-0,17	-0,98	0,17
10	0,17	0,98	0,17		195	-0,26	-0,96	0,27
15	0,26	0,96	0,27		200	-0,34	-0,94	0,36
20	0,34	0,94	0,36		205	-0,42	-0,91	0,47
25	0,42	0,91	0,47		210	-0,50	-0,87	0,58
30	0,50	0,87	0,58		215	-0,57	-0,82	0,70
35	0,57	0,82	0,70		220	-0,64	-0,77	0,84
40	0,64	0,77	0,84		225	-0,71	-0,71	1
45	0,71	0,71	1		230	-0,77	-0,64	1,19
50	0,77	0,64	1,19		235	-0,82	-0,57	1,43
55	0,82	0,57	1,43		240	-0,87	-0,50	1,73
60	0,87	0,50	1,73		245	-0,91	-0,42	2,14
65	0,91	0,42	2,14		250	-0,94	-0,34	2,75
70	0,94	0,34	2,75		255	-0,96	-0,26	3,73
75	0,96	0,26	3,73		260	-0,98	-0,17	5,67
80	0,98	0,17	5,67		265	-0,99	-0,09	11,4
85	0,99	0,09	11,4		270	-1	0	ñ existe
90	1	0	ñ existe		275	-0,99	0,09	-11,4
95	0,99	-0,09	-11,4		280	-0,98	0,17	-5,67
100	0,98	-0,17	-5,67		285	-0,96	0,26	-3,73
105	0,96	-0,26	-3,73		290	-0,94	0,34	-2,75
110	0,94	-0,34	-2,75		295	-0,91	0,42	-2,14
115	0,91	-0,42	-2,14		300	-0,87	0,50	-1,73
120	0,87	-0,50	-1,73		305	-0,82	0,57	-1,43
125	0,82	-0,57	-1,43		310	-0,77	0,64	-1,19
130	0,77	-0,64	-1,19		315	-0,71	0,71	-1
135	0,71	-0,71	-1		320	-0,64	0,77	-0,84
140	0,64	-0,77	-0,84		325	-0,57	0,82	-0,70
145	0,57	-0,82	-0,70		330	-0,50	0,87	-0,58
150	0,50	-0,87	-0,58		335	-0,42	0,91	-0,47
155	0,42	-0,91	-0,47		340	-0,34	0,94	-0,36
160	0,34	-0,94	-0,36		345	-0,26	0,96	-0,27
165	0,26	-0,96	-0,27		350	-0,17	0,98	-0,18
170	0,17	-0,98	-0,18		355	-0,09	0,99	-0,09
175	0,09	-0,99	-0,09		360	0	1	0
180	0	1	0

Uma mente Brilhante

Link do filme inteiro: https://www.youtube.com/watch?v=BsO5N16uQGc

DONALD NO PAIS DA MATEMÁGICA

"Matemática é o alfabeto do qual DEUS escreveu o Universo." - Galileu Gal.

Tabela de números romanos (de 1 até 3000)

1→ I

2→II
3→III
4→IV
5→V
6→VI
7→VII
8→VIII
9→IX
10→X
20→XX
30→XXX
40→XL
50→L
60→LX
70→LXX
80→LXXX
90→XC
100→C
200→CC
300→CCC
400→CD
500→D
600→DC
700→DCC
800→DCCC
900→CM
1000→M

2000→MM

3000→MMM

Como formar 3225 em números romanos por exemplo:

3000 → MMM + 200 → CC + 20 → XX + 5 → V =  MMMCCXXV